Lo verdadero y lo demostrable

Desde que comencé a escribir entradas sobre el diálogo Ciencia y Fe en este blog, tenía ganas de escribir sobre algo que los matemáticos conocemos desde hace más de 70 años, y que es difícil de explicar con palabras sencillas. Me refiero, concretamente, a la Proposición VI del artículo escrito por Gödel titulado «Sobre proposiciones formalmente indecidibles en los Principia Mathematica y sistemas análogos» y publicado en el año 1931, y que dice lo siguiente:

A cada clase k w-consistente y recursiva de formulae corresponden signos de clase r recursivos, de tal modo que ni v Gen r y Neg(v Gen r) pertenecen a Flg (k) (donde v es la variante libre de r).

Supongo que para la gran mayoría de los lectores les sonará a chino (o a alemán, que fue el idioma originario del artículo). Según la biografía de Gödel en Wikipedia se podría explicar también así: «para todo sistema axiomático recursivo auto-consistente lo suficientemente poderoso como para describir la aritmética de los números naturales (la aritmética de Peano), existen proposiciones verdaderas sobre los naturales que no pueden demostrarse a partir de los axiomas«. Sigue sonando a chino, ¿no? Lo cierto es que lo que hay detrás de esta proposición provocó una auténtica convulsión entre la comunidad científica de su tiempo, y la Matemática no se recuperó fácilmente del gran varapalo que supuso la demostración de Gödel.

Para los que teman no entender ni jota de lo que a continuación voy a escribir, que estén tranquilos, no «elevaré» mi discurso con matemáticas complicadas, ya que no quiero hacer un artículo sobre esta Ciencia Exacta, sino una brevísima reflexión sobre la verdad, lo verdadero y lo demostrable.

En la foto, dos de los genios científicos del siglo XX: Einstein y Gödel.

Existen matemáticos universales, y a casi todos nos suenan algunos de ellos: Euclides, Pitágoras, Galileo… Otros son, digamos, menos desconocidos: Poincaré, Abel, Fermat, Euler, Ruffini… Gödel forma parte, digamos, de los menos conocidos entre los menos conocidos para el público en general, a pesar de ser uno de los lógicos universales y un matemático que revolucionó la forma de pensar científicamente.

Existen muchas biografías de Gödel en Internet… no es necesario más que poner su nombre en Google para que aparezcan varias.

Mi primer contacto con la obra de Gödel fue a los 19 años. Alianza Editorial publicó entonces sus obras completas en una colección denominada «Alianza Universidad»… ya por entonces hacía mis estudios universitarios y conocía a Gödel, siquiera tangencialmente. Compré el libro y comencé a leerlo… sin entender, muchas veces, ni palabra de lo que decía. Frustrado, lo dejé para más adelante. Y ahí se quedó el libro, en un estante de la librería, hasta que varios años después volví a retomar su lectura. No es un libro fácil. Cuando comienza con las demostraciones apenas utiliza el lenguaje común más allá de lo estrictamente necesario, llenándolas de la simbología matemática que tanto asusta a los no iniciados.

Pero volvamos a su proposición VI. Traduzcámoslo a palabras comprensibles y sencillas: «Toda formulación axiomática y consistente en matemáticas incluye proposiciones indecidibles«. ¿Complicado todavía? Rebajemos un poco más el lenguaje [aunque perdamos algo de su ajustado discurso científico]: «Existen afirmaciones matemáticas cuya verdad (o falsedad) no vamos a poder demostrar«.

Gödel estudia, digámoslo así, la «consistencia» de un sistema axiomático¹.

A Gödel no le interesa saber si una determinada aseveración es falsa o verdadera. Simplemente afirma que en cualquier sistema lógico basado en axiomas, existirán aseveraciones sobre cuya verdad o falsedad no podremos decidir o demostrar.

La importancia de este enunciado es fundamental. La ciencia, antes de Gödel, pensaba que cualquier enunciado podría «inspeccionarse» bajo las reglas de la lógica y decidir sobre su verosimilitud o falsedad. Antes de Gödel, ni siquiera se planteaba el hecho de que la matemática no pudiese decidir sobre un determinado enunciado. A partir de Gödel aparece una diferencia muy sutil entre la verdad/falsedad y la demostrabilidad. Dicho de otra manera: Gödel nos hace ver que la verdad es una categoría más poderosa que la demostrabilidad.

Algunos pensaron que la demostración de Gödel tiraba por tierra el método científico. Y no, tampoco es eso. Si acaso, lo que viene a demostrar es que los que quieran endiosar a la ciencia, también tienen un talón de Aquiles que superar.

¿Qué relación tiene todo esto con el tema de la existencia o no de Dios? Personalmente pienso que poca. Hay quienes han querido ver en el trabajo de Gödel una puerta por la que poder hacer pasar el hecho religioso. Yo creo, sin embargo, que la ciencia no llegará nunca a poder tratar el hecho trascendente, la existencia o no de Dios, puesto que pertenece a un plano distinto, el cual el método científico, por su misma esencia, no puede alcanzar.

La fe en Dios trasciende lo material. Es un salto. Podremos encontrar indicios, pero no evidencias. Podemos preguntarnos sobre el mero hecho de la existencia en sí, y saltamos a un plano distinto.

1. ¿Qué es un sistema axiomático? Aunque un sistema axiomático (también llamado sistema formal) tiene una definición matemática precisa, su enunciado es oscuro a los ojos del no iniciado. Digamos pues, grosso modo, que un sistema axiomático es un «sistema formado por un conjunto de enunciados no demostrados, denominados axiomas, y unas reglas deductivas que, aplicadas a ellos, nos permiten obtener otros enunciados llamados teoremas». Un ejemplo de sistema axiomático deductivo es la geometría expuesta en los Elementos de Euclides.